Metods Numericos: Newton Raphson

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x³. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x³.
Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x². Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x³ > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x₀ = 0,5

$\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0,5 - \frac{\cos(0,5) - 0,5^3}{-\sin(0,5) - 3 \times 0,5^2} & = & 1,112141637097 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & = & \underline{0},909672693736 \\ x_3 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86}7263818209 \\ x_4 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86547}7135298 \\ x_5 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,8654740331}11 \\ x_6 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,865474033102} \end{matrix}$

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x₆ es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x₃) a 5 y 10, ilustando la convergencia cuadrática.

Metods Numericos

viernes, 9 de marzo de 2012

Newton Raphson

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